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第3問

次の不定積分を求めなさい。
$$\int \frac{1}{6x^2+8}dx$$

第2問

2つのベクトル$\overrightarrow{a}＝(a_1,a_2)，\overrightarrow{b}＝(b_1,b_2)$がある。$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$として、これに関する次の問いに答えなさい。

$(1)$
$~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$を$~a_1，a_2，b_1，b_2，\theta~$を用いて表しなさい。答えのみで構いません。

$(2)$
$~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}＝a_1b_1+a_2b_2~$が成り立つことを示しなさい。

第4問

関数$f(x)$の第$n$次導関数を$f^{(n)}(x)$とし、$f(x)$を次のように定める。$$f(x)=\sin x$$これについて次の問いに答えなさい。

$(1)~f^{(1)}(x)$を求めなさい。答えのみで構いません。
$(2)~f^{(n)}(x)$を$n$を用いた1つの式で表しなさい。また、それを数学的帰納法を用いて証明しなさい。

第6問

次の和が発散することを示しなさい。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

第5問

自然数$n$に対して、次の等式が成り立つことを示しなさい。ただし$i$は虚数単位である。
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$